Question

如果實數x、y滿足x²+y²-4x+1=0,求y-x的最值.

Answer 1

思路解析：本題解法很多，可以從代數、幾何以及參數方程三個方面來考慮.

 

解法一：（數形結合）設y-x=b,則y=x+b.設y=x+b.所表示的直線l對滿足方程x²+y²-4x+1=0的x,y得到的點P（x,y）在此方程所示的圓上，其圓心（2,0），半徑為，如圖所示.則y-x即b是過圓上的任一點P，斜率為1的直線l在y軸上的截距.

由圖知，直線l與圓相切時，b取最值.此時圓心（2，0）到直線l：y=x+b的距離等于半徑.

∴=.

∴b=-2,b=--2.

故（y-x）_max=-2,(y-x)_min=--2.

解法二：（參數方程）∵x、y滿足x²+y²-4x+1=0,即（x-2）²+y²=3,

∴設(θ為參數).

∴y-x=sinθ-(2+cosθ)=sinθ-cosθ-2=sin(θ-)-2.

∵-1≤sin(θ-)≤1,

∴--2≤y-x≤-2.

∴(y-x)_max=-2,(y-x)_min=--2.

解法三：（判別式法）設y-x=b,則y=x+b，代入方程x²+y²-4x+1=0,得

x²+(x+b)²-4x+1=0.

整理,得2x²+(2b-4)x+1+b²=0.

∴Δ=(2b-4)²-4×2(1+b²)≥0,解得--2≤b≤-2.

∴(y-x)_max=-2,(y-x)_min=--2.

深化升華

    遇有以標準方程(x-a)²+(y-b)²=r²(r＞0)給出圖,求Ax+By+C的最值問題，可以考慮圓的參數方程，也可以看作三角代換，即令轉化為求三角函數的最值.