Question

畫出不等式組

-x+y-2≤0 x+y-4≤0 x-3y+3≤0

表示的平面區域，并求出當x，y分別取何值時z=x²+y²有最大、最小值，并求出最大、最小值．

Answer 1

分析：畫出滿足不等式組

-x+y-2≤0 x+y-4≤0 x-3y+3≤0

表示的平面區域，由z=x²+y²表示可行域中動點（x，y）與原點距離的平方，結合圖象分別求出滿足條件的最值及對應的x，y值．

解答：解：滿足不等式組

-x+y-2≤0 x+y-4≤0 x-3y+3≤0

表示的平面區域如下圖所示：

z=x²+y²表示可行域中動點（x，y）與原點距離的平方
故Z的最大值為OA²，OB²，OC²中的最大值
∵OA²=

5

2

，OB²=

65

8

，OC²=10
故當x=1．y=3時，z=x²+y²有最大值為10
Z的最小值為O點到直線x-3y+3=0的距離的平方
此時d²=

9

10

此時垂足為直線x-3y+3=0和3x+y=0的交點，解得x=-

3

10

，y=

9

10

故當x=-

3

10

，y=

9

10

時，z=x²+y²有最小值為

9

10

點評：本題考查的知識點是簡單線性規劃，其中分析出目標函數z=x²+y²的幾何意義是解答的關鍵．