Question

已知，a＞b＞c，若

3

是3^a與

1

3c

的等比中項，且λ≤

1

a-b

+

1

b-c

恒成立，則λ的最大值是

4

．

Answer 1

分析：根據

3

是3^a與

1

3c

的等比中項，由等比中項概念列式得到a-c=1，把

1

a-b

+

1

b-c

通分后運用基本不等式的性質求出其最小值，結合λ≤

1

a-b

+

1

b-c

恒成立可求λ的最大值．

解答：解：由

3

是3^a與

1

3c

的等比中項，得：3a•

1

3c

=(

3

)2=3，
即3^a-c=3，所以，a-c=1．
因為

1

a-b

+

1

b-c

=

b-c+a-b

(a-b)(b-c)

=

a-c

(a-b)(b-c)

=

1

(a-b)(b-c)

，
由a＞b＞c，所以a-b＞0，b-c＞0．
則0＜(a-b)(b-c)≤(

a-b+b-c

2

)2=(

a-c

2

)2=

1

4

，
所以

1

(a-b)(b-c)

≥4
即

1

a-b

+

1

b-c

≥4
又λ≤

1

a-b

+

1

b-c

恒成立，
所以λ≤4．
所以λ的最大值是4．
故答案為4．

點評：本題考查了等比數列的性質，考查了利用基本不等式求最值，想到把

1

a-b

+

1

b-c

通分計算是該題的突破點，此題是中檔題．