Question

已知定義在R上的二次函數R（x）=ax²+bx+c滿足2^R（-x）-2^R（x）=0，且R（x）的最小值為0，函數h（x）=lnx，又函數f（x）=h（x）-R（x）．
（I）求f（x）的單調區間；  
（II）當a≤時，若x∈[1，3]，求f（x）的最小值；
（III）若二次函數R（x）圖象過（4，2）點，對于給定的函數f（x）圖象上的點A（x₁，y₁），當時，探求函數f（x）圖象上是否存在點B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B連線平行于x軸，并說明理由．（參考數據：e=2.71828…）

Answer 1

【答案】分析：（I）由2^R（-x）-2^R（x）=0，知R（-x）=R（x），故R（x）=ax²+c．所以令f′（x）=0，得．由此能求出f（x）的單調區間．
（II）由當0＜a≤時，≥1，知x∈[1，3]時，f（x）的最小值為f（1）與f（3）中的較小者．由此能求出f（x）的最小值．
（III）若二次函數R（x）=ax²圖象過（4，2）點，則，所以．由此能導出函數f（x）圖象上存在點B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B連線平行于x軸．
解答：解：（I）∵定義在R上的二次函數R（x）=ax²+bx+c滿足2^R（-x）-2^R（x）=0，
∴2^R（-x）-2^R（x）=0，
∴2^R（-x）=2^R（x），即R（-x）=R（x），
∵R（x）=ax²+bx+c，∴b=0，∴R（x）=ax²+c．
∵R（x）=ax²+c的最小值為0，∴a＞0，c=0，故R（x）=ax²，
∵R（x）=ax²，h（x）=lnx，f（x）=h（x）-R（x），
∴f（x）=lnx-ax²，，
令f′（x）=0，解得．
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，）		（，+∞）
f'（x）	+		-
f（x）	↑	極大值	↓

所以，f（x）的單調遞增區間是（0，），
f（x）的單調遞減區間是（，+∞）．
（II）∵當0＜a≤時，≥1，
∴x∈[1，3]時，f（x）的最小值為f（1）與f（3）中的較小者．
又f（1）=-a，f（3）=1n3-9a，
f（1）-f（3）=-a-（ln3-9a）=8a-1n3．
∴當0＜a≤時，f（1）≤f（3），f（x）的最小值-a；
當時，f（1）＞f（3），f（x）的最小值ln3-9a．
（III）證明：若二次函數R（x）=ax²圖象過（4，2）點，則，
所以．
令．
由（I）知f（x）在（0，2）內單調遞增，
故，即g（2）＞0．
取，則．
所以存在，使g（x₂）=0，
故存在x₂∈（2，+∞），使．
所以函數f（x）圖象上存在點B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B連線平行于x軸．
點評：本題考查求f（x）的單調區間，求f（x）的最小值，探索函數f（x）圖象上是否存在點B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B連線平行于x軸，并說明理由．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．