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【題目】設橢圓的左右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點．
（1）若直線AP與BP的斜率之積為，求橢圓的離心率；
（2）若|AP|=|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|＞．

【答案】
（1）解：設P（x0，y0），∴ ①

∵橢圓的左右頂點分別為A，B，∴A（﹣a，0），B（a，0）

∴ ，

∵直線AP與BP的斜率之積為，∴

代入①并整理得

∵y0≠0，∴a2=2b2

∴

∴橢圓的離心率為；

（2）證明：依題意，直線OP的方程為y=kx，設P（x0，kx0），∴

∵a＞b＞0，kx0≠0，∴

∴ ②

∵|AP|=|OA|，A（﹣a，0），

∴

代入②得

∴k2＞3

∴直線OP的斜率k滿足|k|＞

【解析】（1）設P（x0 ， y0），則，利用直線AP與BP的斜率之積為，即可求得橢圓的離心率；（2）依題意，直線OP的方程為y=kx，設P（x0 ， kx0），則，進一步可得，利用AP|=|OA|，A（﹣a，0），可求得，從而可求直線OP的斜率的范圍．

練習冊系列答案

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（1）求拋物線C的方程；
（2）是否存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由；
（3）若點M的橫坐標為，直線l：y=kx+ 與拋物線C有兩個不同的交點A，B，l與圓Q有兩個不同的交點D，E，求當 ≤k≤2時，|AB|2+|DE|2的最小值．