Question

已知圓C:.

（1）若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，且截距不為零，求此切線的方程；

（2）從圓C外一點P向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有，

求使得取得最小值的點P的坐標

 

Answer 1

【答案】

（1）。（2）P.

【解析】本題考查用點斜式、斜截式求直線方程的方法，體現了分類討論的數學思想，點到直線的距離公式，判斷P在直線2x-4y+3=0上，|PM|的最小值就是|PO|的最小值，時間誒體的關鍵．

（1）當截距不為零時：設切線方程為 ，根據圓心到切線的距離等于半徑求出a的值，即得切線方程，當截距等于零時：設切線方程為y=kx（k≠0），同理可得k=2± ，從而得到圓的所有的切線方程．

（2）有切線的性質可得|PM|²=|PC|²-|CM|²，又|PM|=|PO|，可得2x₀-4y₀+3=0．動點P在直線2x-4y+3=0上，|PM|的最小值就是|PO|的最小值，過點O作直線2x-4y+3=0的垂線，垂足為P，垂足坐標即為所求．

（1）切線在兩坐標軸上的截距相等且截距不為零，

設切線方程為，（）

又圓C：，圓心C到切線的距離等于圓的半

徑，

則所求切線的方程為：。

（2）切線PM與半徑CM垂直，

動點P的軌跡是直線，的最小值就是的最小

值，而的最小值為O到直線的距離d=，

所求點坐標為P.