Question

（本小題滿分12分） 已知其中是自然對數的底 .

(1)若在處取得極值，求的值；

(2)求的單調區間；

(3)設，存在，使得成立，求 的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 。(Ⅱ) 綜上所述，當時，的減區間是，

當時，的減區間是，增區間是.  (III) .

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數性質中的運用，求解極值和單調區間，以及證明不等式的總額和運用。

（1）.                              

由已知, 解得.

（2）因為，對于參數a大于零還是小于零，還是等于零分情況討論得到單調性。

（3）當時,由(Ⅱ)知的最小值是；         

易知在上的最大值是，則轉換為不等式組得到結論。

解： (Ⅰ) .                              

由已知, 解得.                            

經檢驗, 符合題意.                     ………… 3分

(Ⅱ) .

1)                        當時，在上是減函數.

2)當時，.

①                    若，即，

則在上是減函數，在上是增函數；

② 若  ，即，則在上是減函數.   

綜上所述，當時，的減區間是，

當時，的減區間是，增區間是.   ……… 7分

(III)當時,由(Ⅱ)知的最小值是；         

易知在上的最大值是；                    

注意到,

故由題設知                            

解得.故的取值范圍是.              ……… 12分