Question

各項均為正數的數列{an}中，設，，且，．

（1）設，證明數列{bn}是等比數列；

（2）設，求集合．

 

Answer 1

（1）詳見解析，（2）（）．

【解析】

試題分析：（1）數列{bn}是等比數列，實際就是證明為常數，首先列出的關系式，由知消去參數由，所以①，當時， ②，①-②，得即，，化簡得或（）．因為數列{an}的各項均為正數，所以數列單調遞減，所以．所以（）．

（2）由（1）知，所以，即．由，得，又時，，所以數列從第2項開始依次遞減．當時，若，則，與矛盾，所以時，，即．令，則，所以，即存在滿足題設的數組（）．當時，若，則不存在；若，則；若時，，（*）式不成立．

【解】（1）當時，，

即，解得． 2分

由，所以 ①

當時， ②

①-②，得（）， 4分

即，

即，所以，

因為數列{an}的各項均為正數，所以數列單調遞減，所以．

所以（）．

因為，所以，

所以數列{bn}是等比數列． 6分

（2）由（1）知，所以，即．

由，得（*）

又時，，所以數列從第2項開始依次遞減． 8分

（Ⅰ）當時，若，則，

（*）式不成立，所以，即． 10分

令，則，

所以，即存在滿足題設的數組（）． 13分

（Ⅱ）當時，若，則不存在；若，則；

若時，，（*）式不成立．

綜上所述，所求集合為（）． 16分

（注：列舉出一組給2分，多于一組給3分）

考點：數列的通項公式、前n項和