Question

已知關于x的方程：x²-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有實數根b．
（1）求實數a，b的值．
（2）若復數z滿足|-a-bi|-2|z|=0，求z為何值時，|z|有最小值，并求出|z|的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）復數方程有實根，方程化簡為a+bi=0（a、b∈R），利用復數相等，即解方程組即可．
（2）先把a、b代入方程，同時設復數z=x+yi，化簡方程，根據表達式的幾何意義，方程表示圓，
再數形結合，求出z，得到|z|．
解答：解：（1）∵b是方程x²-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）的實根，
∴（b²-6b+9）+（a-b）i=0，
∴解之得a=b=3．
（2）設z=x+yi（x，y∈R），由|-3-3i|=2|z|，
得（x-3）²+（y+3）²=4（x²+y²），
即（x+1）²+（y-1）²=8，
∴z點的軌跡是以O₁（-1，1）為圓心，2為半徑的圓，如圖所示，
如圖，

當z點在OO₁的連線上時，|z|有最大值或最小值，
∵|OO₁|=，
半徑r=2，
∴當z=1-i時．
|z|有最小值且|z|_min=．
點評：本題（1）考查復數相等；（2）考查復數和它的共軛復數，復數的模，復數的幾何意義，數形結合的思想方法．
是有一定難度的中檔題目．