Question

用定義證明函數f(x)=

ax+1

x+2

(a≠2)在（-2，+∞）上的單調性．

Answer 1

分析：用定義證明函數f（x）在（-2，+∞）上的單調性，其基本步驟是一取值，二作差，三判正負，四下結論；這里須對a討論．

解答：證明；∵函數f（x）=

ax+1

x+2

=

a(x+2)-2a+1

x+2

=a+

1-2a

x+2

，
∴任取x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（a+

1-2a

x1+2

）-（a+

1-2a

x2+2

）=

1-2a

x1+2

-

1-2a

x2+2

=

(1-2a)(x2-x1)

(x1+2)(x2+2)

；
∵-2＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，（x₁+2）（x₂+2）＞0，
∴當1-2a＞0，即a＜

1

2

時，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），是減函數；
當1-2a＜0，即a＞

1

2

（且a≠2）時，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），是增函數；
所以，在（-2，+∞）上，當a＜

1

2

時，f（x）是減函數，a＞

1

2

且a≠2時，f（x）是增函數．

點評：本題考查了用定義證明函數的單調性問題，是基礎題．