Question

3．已知一個三棱錐的所有棱長均為$\sqrt{2}$，則該三棱錐的內切球的體積為$\frac{{\sqrt{3}}}{54}π$．

Answer 1

分析 作出正四面體的圖形，確定球的球心位置為O，說明OE是內切球的半徑，運用勾股定理計算，即可得到球的體積．

解答 解：如圖O為正四面體ABCD的內切球的球心，
正四面體的棱長為$\sqrt{2}$，
所以OE為內切球的半徑，設OA=OB=R，
在等邊三角形BCD中，BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
AE=$\sqrt{2-\frac{6}{9}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
由OB²=OE²+BE²，即有R²=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-R）²+$\frac{2}{3}$，
解得，R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．OE=AE-R=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
則其內切球的半徑是$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
內切球的體積為$\frac{4}{3}π$×（$\frac{\sqrt{3}}{6}$）³=$\frac{{\sqrt{3}}}{54}π$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{54}π$．

點評 本題考查正四面體的內切球半徑的求法，內切球的半徑是正四面體的高的$\frac{1}{4}$，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．