Question

直線l過點P（-2，1）且斜率為k（k＞1），將直線l繞P點按逆時針方向旋轉45°得直線m，若直線l和m分別與y軸交于Q，R兩點．
（1）用k表示直線m的斜率；
（2）當k為何值時，△PQR的面積最小？并求出面積最小時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）用點斜式求出m和l的方程，利用直線l繞P點按逆時針方向旋轉45°得直線m求出直線m的傾斜角為α+45°；進而得到直線m的斜率；
（2）求出R，Q兩點的坐標，計算△PQR 的面積，變形后應用基本不等式求出它的最小值．

解答：解：（1）設直線l的傾斜角為α，則直線m的傾斜角為α+45°，
km=tan(45°+α)=

1+tanα

1-tanα

=

1+k

1-k

，
∴直線l的方程為y-1=k（x+2），
（2）直線m的方程為y-1=

1+k

1-k

(x+2)
令x=0，得yQ=2k+1，yR=

3+k

1-k

，
∴S△PQR=

1

2

|yQ-yR|•|xP|=|

2(k2+1)

k-1

|
∵k＞1，
∴S△PQR=|

2(k2+1)

k-1

|=2•

k2+1

k-1

=2[(k-1)+

2

k-1

+2]≥4(

2

+1)
由k-1=

2

k-1

得k=

2

+1(k=1-

2

舍去），
∴當k=

2

+1時，
△PQR的面積最小，最小值為4(

2

+1)，
此時直線l的方程是(

2

+1)x-y+2

2

+3=0．

點評：本題考查一條直線到另一直線的角的定義，直線的點斜式方程，求兩直線的交點坐標以及基本不等式的應用．把三角形的面積表達式變形后應用基本不等式是本題的難點和關鍵．