Question

（2012•江蘇一模）已知函數(shù)f（x）=（ax²+x）e^x，其中e是自然數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）在[-1，1]上是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=0時(shí)，求整數(shù)k的所有值，使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)e^x＞0，a＜0，不等式可化為x(x+

1

a

)＜0，由此可求不等式f（x）＞0的解集；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，再分類討論：①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立；②當(dāng)a≠0時(shí)，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，因?yàn)椤?（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，f（x）有極大值又有極小值．若a＞0，可得f（x）在[-1，1]上不單調(diào)；若a＜0，要使f（x）在[-1，1]上單調(diào)，因?yàn)間（0）=1＞0，必須滿足

g(1)≥0 g(-1)≥0

，從而可確定a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=0時(shí)，原方程等價(jià)于ex-

2

x

-1=0，構(gòu)建函數(shù)h(x)=ex-

2

x

-1，求導(dǎo)函數(shù)，可確定h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，從而可確定方程f（x）=x+2有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且分別在區(qū)間[1，2]和[-3，-2]上，故可得k的值．

解答：解：（1）因?yàn)閑^x＞0，所以不等式f（x）＞0，即為ax²+x＞0，
又因?yàn)閍＜0，所以不等式可化為x(x+

1

a

)＜0，
所以不等式f（x）＞0的解集為(0，-

1

a

 )．（4分）
（2）f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x）e^x=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，
①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào)，故a=0符合要求；（6分）
②當(dāng)a≠0時(shí)，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，
因?yàn)椤?（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，所以g（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＞x₂，
因此f（x）有極大值又有極小值．
若a＞0，因?yàn)間（-1）•g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）內(nèi)有極值點(diǎn)，故f（x）在[-1，1]上不單調(diào)．（8分）
若a＜0，可知x₁＞0＞x₂，因?yàn)間（x）的圖象開(kāi)口向下，要使f（x）在[-1，1]上單調(diào)，
因?yàn)間（0）=1＞0，必須滿足

g(1)≥0 g(-1)≥0

，即

3a+2≥0 -a≥0

，所以-

2

3

≤a＜0．
綜上可知，a的取值范圍是[-

2

3

，0]．（10分）
（3）當(dāng)a=0時(shí)，方程即為xe^x=x+2，由于e^x＞0，所以x=0不是方程的解，所以原方程等價(jià)于ex-

2

x

-1=0，
令h(x)=ex-

2

x

-1，
因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">h′(x)=ex+

2

x2

＞0對(duì)于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，（13分）
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2＞0，h(-3)=e-3-

1

3

＜0，h（-2）=e^-2＞0，
所以方程f（x）=x+2有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且分別在區(qū)間[1，2]和[-3，-2]上，
所以整數(shù)k的所有值為{-3，1}．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查解不等式，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)與方程思想，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)．