Question

（2011•重慶模擬）已知函數f（x）=x³-2ax²-3x，x∈R．
（Ⅰ）當a=0時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當x∈（0，+∞）時，f（x）≥ax恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當a=0時，f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3，根據二次函數的圖象和性質，我們易判斷出導函數的符號，進而根據導數符號與單調性的關系，即可得到函數的單調性．
（II）由已知中x∈（0，+∞）時，f（x）≥ax恒成立，我們可以構造函數g（x）=x²-2ax-（3+a），根據二次函數的圖象和性質，構造關于a的不等式，進而得到答案．

解答：解：（I）當a=0時，f（x）=x³-3x，故f'（x）=3x²-3…（1分）
因為當x＜-1或x＞1時，f'（x）＞0
當-1＜x＜1時，f'（x）＜0
故f（x）在（-∞，-1]和[1，+∞）上單調遞增，在（-1，1）上單調遞減．…（5分）
（II）由題意可知x³-2ax²-3x≥ax在（0，+∞）上恒成立，
即x²-2ax-（3+a）≥0在（0，+∞）上恒成立．…（7分）
令g（x）=x²-2ax-（3+a），
因為△=(-2a)2+4(a+3)=4(a+

1

2

)2+11＞0…（9分）
故x²-2ax-（3+a）≥0在（0，+∞）上恒成立等價于

a＜0 g(0)≥0

即

a＜0 -a-3≥0

解得a≤-3…（12分）

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，函數恒成立問題，其中（I）的關鍵是由函數的解析式，求了導函數的解析式，（II）的關鍵是將問題轉化為二次函數恒成立問題．