Question

（2011•重慶模擬）如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P在BC₁上運動，給出下列四個命題：
①三棱錐A-D₁PC的體積不變；  ②DP⊥BC₁；③A₁P∥平面ACD₁； ④平面PDB₁⊥ACD₁；
其中正確的命題個數有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：①V _A-D1PC=V _C-AD1P，C到面 AD₁P的距離不變，且三角形 AD₁P的面積不變．
②，當P 與B重合時，DP與BC₁；成60°角，不垂直．
③連接A₁B，A₁C₁容易證明平面BA₁C₁∥面ACD₁，從而由線面平行的定義可得；
④連接DB₁，容易證明DB₁⊥面ACD₁ ，從而可以證明面面垂直．

解答：解：對于①，V _A-D1PC=V _C-AD1P，C到面 AD₁P的距離不變，且三角形 AD₁P的面積不變．∴三棱錐A-D₁PC的體積不變；  正確；
②連接DB，DC₁，可知△DBC₁是正三角形，當且僅當P為BC₁中點時，DP⊥BC₁，考慮特殊位置，當P 與B重合時，DP與BC₁成60°角，不垂直．
錯誤
③連接A₁B，A₁C₁容易證明平面BA₁C₁∥面ACD₁，從而由線面平行的定義可得 A₁P∥平面ACD₁；．正確．
④連接DB₁，根據正方體的性質，有DB₁⊥面ACD₁ ，DB₁?平面PDB₁ 從而可以證明平面PDB₁⊥ACD₁；正確．
正確的命題個數有 3個．
故選C．

點評：本題考查三棱錐體積求法中的等體積法；線面平行、垂直，面面平行、垂直的判定，要注意使用轉化的思想，及特殊和一般的思想方法．