Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2x﹣t（t為常數）有兩個零點，g（x）= ．
（1）求g（x）的值域（用t表示）；
（2）當t變化時，平行于x軸的一條直線與y=|f（x）|的圖象恰有三個交點，該直線與y=g（x）的圖象的交點橫坐標的取值集合為M，求M．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=x2﹣2x﹣t（t為常數）有兩個零點，

∴△=4（1+t）＞0，解得：t＞﹣1，

g（x）= =（x﹣1）+ +2，

∵|（x﹣1）+ |=|x﹣1|+ ≥2 ，當且僅當x=1± 時取“=”，

∴（x﹣1）+ ≤﹣2 或（x﹣1）+ ≥2 ，

∴g（x）≤2﹣2 或g（x）≥2+2 ，

即g（x）的值域是（﹣∞，2﹣2 ]∪[2﹣2 ，+∞）；

（2）解：當x=1時，f（x）取最小值﹣t﹣1，

由|f（x）|的圖象得，平行x軸的直線y=x+1與函數y=|f（x）|的圖象恰有三個交點，

由 =t+1得，（x﹣2）t=x2﹣x+1，顯然x≠2，

∴t= ，

由于t＞﹣1，

∴ ＞﹣1，即 ＞0，

解得：﹣1＜x＜1或x＞2，

∴M=（﹣1，1）∪（2，+∞）

【解析】（1）求出t的范圍，根據基本不等式的性質求出g（x）的值域即可；（2）求出t= ，得到 ＞﹣1，解不等式即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的值域和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．