Question

如圖所示,曲線段OMB是函數f(x)=x²(0＜x＜6)的圖象,BA⊥x軸于點A,曲線段OMB上一點M(t,f(t))處的切線PQ交x軸于點P,交線段AB于點Q.

(1)試用t表示切線PQ的方程;

(2)設△QAP的面積為g(t);若函數g(t)在(m,n)上單調遞減,試求出m的最小值;

(3)試求g(t)的取值范圍.

Answer 1

解：(1)設點M(t,t²),又f′(x)=2x,

∴過點M的切線PQ的斜率k=2t.

∴切線PQ的方程為y=2tx-t².

(2)由(1)可求得P(,0)、Q(6,12t-t²),

∴g(t)=S_△QAP=(6-t)(12t-t²)=-6t²+36t.

    由于g′(t)=-12t+36,

    令g′(t)＜0,則4＜t＜12,考慮到0＜t＜6,

∴4＜t＜6.

∴函數g(t)的單調遞減區間是(4,6).

因此m的最小值為4.

(3)由(2)知,g(t)在區間(4,6)上遞減,

∴此時S_△QAP∈(g(6),g(4))=(54,64).

    令g′(t)＞0,則0＜t＜4,

∴g(t)在區間(0,4)上遞增.

∴S_△QAP∈(g(0),g(4))=(0,64).

    又g(4)=64,

    故g(t)的值域為(0,64］.