Question

（本小題滿分14分）已知（，為此函數的定義域）同時滿足下列兩個條件：①函數在內單調遞增或單調遞減；②如果存在區間，使函數在區間上的值域為，那么稱，為閉函數；

請解答以下問題：

(1) 求閉函數符合條件②的區間；

(2) 判斷函數是否為閉函數？并說明理由；

(3)若是閉函數，求實數的取值范圍；

 

Answer 1

【答案】

1)  2) 函數在定義域上不是單調遞增或單調遞減函數，從而該函數不是閉函數3)

【解析】解：(1) 先證符合條件①：對于任意，且，有 

 ，，故是上的減函數．由題可得：則，而，，又，，所求區間為

(2) 當 在上單調遞減，在上單調遞增；（證明略）所以，函數在定義域上不是單調遞增或單調遞減函數，從而該函數不是閉函數

（3）易知是上的增函數，符合條件①；設函數符合條件②的區間為，則；故是的兩個不等根，即方程組為：

有兩個不等非負實根；

設為方程的二根，則  ，

解得：的取值范圍．