Question

(本小題滿分13分)

已知函數，曲線在點處的切線方程為．

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）設，若函數與軸有兩個交點，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）證明：曲線上任意一點的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值，并求出此定值.

Answer 1

解：（Ⅰ），由，即，

解得或，由于，所以，則．    (4分)

(Ⅱ)由(1)得，知的定義域為，又

，由于，令，得，

當時，，知在時單調遞減，

同理，知在時單調遞增．　　　　　　　　　　　（６分）

所以，令，即時，函數有兩個實數根，所以的取值范圍是．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（８分）

（Ⅲ）證明：在曲線上任取一點，由知過此點的切線方程為

，　　　　　　　　　　　　　　　　　　（９分）

令得，即切線與直線的交點為，令，得，即切線與直線的交點為，又直線與直線的交點為，　（10分）

從而所圍成的三角形面積為：，故所圍成的三角形面積為定值．                   ( 13分)