Question

【題目】已知橢圓C：（）過點，短軸一個端點到右焦點的距離為2．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設過定點的直線1與橢圓交于不同的兩點A，B，若坐標原點O在以線段AB為直徑的圓上，求直線l的斜率k．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）通過短軸的一個端點到右焦點的距離為2可知，且橢圓過點，得到方程組，解得；

（2）設直線方程為，通過以線段為直徑的圓過坐標原點可知，通過聯立直線與橢圓方程、利用韋達定理化簡，進而計算可得結論；

解：（1）由題意可得，

解得：，，

橢圓的方程為；

（2）由題意知，直線的斜率存在，設過的直線方程為，

聯立，消去、整理得：，

因為直線與橢圓有兩個交點，

解得或

設，，，，

則，

以線段為直徑的圓過坐標原點，

，即，

，

即，解得：滿足條件，

故