Question

如果數列{a_n}滿足a₁=2，a₂=1，且

an-1-an

an-1an

=

an-an+1

anan+1

（n≥2），則這個數列的第10項等于

 

．

Answer 1

分析：由已知

an-1-an

an-1an

=

an-an+1

anan+1

∴數列{

an-1-an

an-1an

}是常數列，利用a₁=2，a₂=1求出項值

1

2

，并對

an-1-an

an-1an

=

1

2

轉化構造出等差數列{

1

an

}，求出a_n，可得a₁₀

解答：解：∵

an-1-an

an-1an

=

an-an+1

anan+1

∴數列{

an-1-an

an-1an

}是常數列，
又

a1-a2

ana2

=

1

2

，∴

an-1-an

an-1an

=

1

2

（n≥2），即

1

an

-

1

an-1

=

1

2

，
∴數列{

1

an

}是以

1

a1

=

1

2

為首項，以

1

2

為公差的等差數列，
∴

1

an

=

1

2

+(n-1)×

1

2

=

n

2

，∴an=

2

n

，∴a10=

2

10

=

1

5

故答案為：

1

5

點評：本題考查數列的概念、等差數列通項公式、轉化構造變形能力、計算能力．