Question

已知函數f（x）=e^x，g（x）=ln

x

2

+

1

2

，對任意a∈R存在b∈（0，+∞）使f（a）=g（b），則b-a的最小值為（　　）

• A．2

  e

  -1
• B．e²-

  1

  2

• C．2-ln2
• D．2+ln2

Answer 1

分析：令 y=e^a，則 a=lny，令y=ln

b

2

+

1

2

，可得 b=2ey-

1

2

，利用導數求得b-a取得最小值．

解答：解：令 y=e^a，則 a=lny，令y=ln

b

2

+

1

2

，可得 b=2ey-

1

2

，
則b-a=2ey-

1

2

-lny，∴（b-a）′=2ey-

1

2

-

1

y

．
顯然，（b-a）′是增函數，觀察可得當y=

1

2

時，（b-a）′=0，故（b-a）′有唯一零點．
故當y=

1

2

時，b-a取得最小值為2ey-

1

2

-lny=2e0-

1

2

-ln

1

2

=2+ln2，
故選D．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質的綜合應用，利用導數求函數的最小值，屬于中檔題．此題中導數零點不易用常規方法解出，解答時要會用代入特值的方法進行驗證求零點