Question

已知函 數.

（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數的單調區間；

（2）若對于都有成立，試求的取值范圍；

（3）記.當時，函數在區間上有兩個零點，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）的單調增區間是,單調減區間是.

（2）.           （3）

【解析】

試題分析：解: (I) 直線的斜率為1.函數的定義域為，，所以，所以. 所以. .由解得；由解得.

所以的單調增區間是,單調減區間是.

(II)，由解得；由解得.

所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.

所以當時，函數取得最小值，.

因為對于都有成立，所以即可.

則. 由解得.  所以的范圍是.

(III)依題得，則.由解得；由解得.

所以函數在區間為減函數，在區間為增函數.

又因為函數在區間上有兩個零點，所以

解得.所以的取值范圍是.   

考點：導數的運用

點評：主要是考查了運用導數研究函數的單調性，以及函數的零點問題，屬于中檔題。