Question

15．已知直線L經過點P（$\frac{1}{2}$，1），傾斜角$α=\frac{π}{6}$，在極坐標系下，圓C的極坐標方程為$ρ=\sqrt{2}cos（{θ-\frac{π}{4}}）$．
（1）寫出直線l的參數方程，并把圓C的方程化為直角坐標方程；
（2）設l與圓C相交于A，B兩點，求點P到A，B兩點的距離之積．

Answer 1

分析 （1）利用直線參數方程的定義，我們易得到直線l的參數方程，再由圓C的極坐標方程為$ρ=\sqrt{2}cos（{θ-\frac{π}{4}}）$，利用兩角差的余弦公式，我們可得ρ=cosθ+sinθ，進而即可得到圓C的標準方程．
（2）聯立直線方程和圓的方程，我們可以得到一個關于t的方程，由于|t|表示P點到A，B的距離，故點P到A，B兩點的距離之積為|t₁•t₂|，根據韋達定理，即可得到答案．

解答 解：（1）直線L經過點P（$\frac{1}{2}$，1），傾斜角$α=\frac{π}{6}$，參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）；
圓C的極坐標方程為$ρ=\sqrt{2}cos（{θ-\frac{π}{4}}）$，即ρ=cosθ+sinθ，化為直角坐標方程x²+y²=x+y；
（2）直線l的參數方程代入圓的方程，可得t²+$\frac{1}{2}t$-$\frac{1}{4}$=0，
∴|PA||PB|=|t₁•t₂|=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查的知識點是直線與圓的方程的應用，點的極坐標和直角坐標的互化，其中準確理解直線參數方程中參數的幾何意義，極坐標方程中ρ，θ的幾何意義，是解答本題的關鍵．