Question

對于定義域為A的函數f（x），如果任意的x₁，x₂∈A，當x₁＜x₂時，都有f（x₁）＜f（x₂），則稱函數f（x）是A上的嚴格增函數；函數f（k）是定義在N*上，函數值也在N*中的嚴格增函數，并且滿足條件f（f（k））=3k．
（Ⅰ）證明：f（3k）=3f（k）；
（Ⅱ）求f（3^k-1）（k∈N^*）的值；
（Ⅲ）是否存在p個連續的自然數，使得它們的函數值依次也是連續的自然數；若存在，找出所有的p值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：∵對k∈N*，f（f（k））=3k，∴f[f（f（k））]=f（3k）①，
由已知f（f（k））=3k，∴f[f（f（k））]=3f（k）②，
由①、②得f（3k）=3f（k）；
（Ⅱ）若f（1）=1，由已知f（f（k））=3k得f（1）=3，矛盾；
設f（1）=a＞1，∴f（f（1））=f（a）=3，③
由f（k）嚴格遞增，即1＜a?f（1）＜f（a）=3．，∴，∴f（1）=2，
由③有f（f（1））=f（a）=3，
故f（f（1））=f（2）=3，
∴f（1）=2，f（2）=3，f（3）=3f（1）=6，f（6）=f（3•2）=3f（2）=9，f（9）=3f（3）=18，f（18）=3f（6）=27，f（27）=3f（9）=54，f（54）=3f（18）=81，…
依此類推歸納猜出：f（3^k-1）=2×3^k-1（k∈N*）．
下面用數學歸納法證明：
（1）當k=1時，顯然成立；
（2）假設當k=l（l≥1）時成立，即f（3^l-1）=2×3^l-1，
那么當k=l+1時，f（3^l）=f（3×3^l-1）=3f（3^l-1）=3×2×3^l-1=2•3^l．猜想成立，
由（1）、（2）所證可知，對k∈N^*f（3^k-1）=2×3^k-1成立．
（Ⅲ）存在p=3^k-1+1，當p個連續自然數從3^k-1→2×3^k-1時，
函數值正好也是p個連續自然數從f（3^k-1）=2×3^k-1→f（2×3^k-1）=3^k．
分析：（Ⅰ）證明：由f（f（k））=3k，得f[f（f（k））]=f（3k）①，再由f（f（k））=3k，得f[f（f（k））]=3f（k）②，聯立①②可得結論．
（Ⅱ）由已知易判斷f（1）=1不成立，設f（1）=a＞1，則f（f（1））=f（a）=3③，由f（k）嚴格遞增，可判斷f（1）=2，且f（2）=3，由此可推得f（3）=6，f（9）=3f（3）=18，f（27）=54，…，依此類推歸納猜出：f（3^k-1）=2×3^k-1（k∈N*）．再用數學歸納法證明即可；
（Ⅲ）由已知及（Ⅰ）（Ⅱ）知：當p個連續自然數從3^k-1→2×3^k-1時，函數值正好也是p個連續自然數從f（3^k-1）=2×3^k-1→f（2×3^k-1）=3^k．
點評：本題考查函數的單調性、函數恒成立問題，考查學生分析問題解決問題的能力，綜合性較強，難度較大．