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(2012•順義區(qū)一模)對于定義域為A的函數f(x),如果任意的x1,x2∈A,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),則稱函數f(x)是A上的嚴格增函數;函數f(k)是定義在N*上,函數值也在N*中的嚴格增函數,并且滿足條件f(f(k))=3k.
(Ⅰ)證明:f(3k)=3f(k);
(Ⅱ)求f(3k-1)(k∈N*)的值;
(Ⅲ)是否存在p個連續(xù)的自然數,使得它們的函數值依次也是連續(xù)的自然數;若存在,找出所有的p值,若不存在,請說明理由.
分析:(Ⅰ)證明:由f(f(k))=3k,得f[f(f(k))]=f(3k)①,再由f(f(k))=3k,得f[f(f(k))]=3f(k)②,聯立①②可得結論.
(Ⅱ)由已知易判斷f(1)=1不成立,設f(1)=a>1,則f(f(1))=f(a)=3③,由f(k)嚴格遞增,可判斷f(1)=2,且f(2)=3,由此可推得f(3)=6,f(9)=3f(3)=18,f(27)=54,…,依此類推歸納猜出:f(3k-1)=2×3k-1(k∈N*).再用數學歸納法證明即可;
(Ⅲ)由已知及(Ⅰ)(Ⅱ)知:當p個連續(xù)自然數從3k-1→2×3k-1時,函數值正好也是p個連續(xù)自然數從f(3k-1)=2×3k-1→f(2×3k-1)=3k
解答:解:(Ⅰ)證明:∵對k∈N*,f(f(k))=3k,∴f[f(f(k))]=f(3k)①,
由已知f(f(k))=3k,∴f[f(f(k))]=3f(k)②,
由①、②得f(3k)=3f(k);
(Ⅱ)若f(1)=1,由已知f(f(k))=3k得f(1)=3,矛盾;
設f(1)=a>1,∴f(f(1))=f(a)=3,③
由f(k)嚴格遞增,即1<a⇒f(1)<f(a)=3.,∴
f(1)≠1
f(1)<3
f(1)∈N*
,∴f(1)=2,
由③有f(f(1))=f(a)=3,
故f(f(1))=f(2)=3,
∴f(1)=2,f(2)=3,f(3)=3f(1)=6,f(6)=f(3•2)=3f(2)=9,f(9)=3f(3)=18,f(18)=3f(6)=27,f(27)=3f(9)=54,f(54)=3f(18)=81,…
依此類推歸納猜出:f(3k-1)=2×3k-1(k∈N*).
下面用數學歸納法證明:
(1)當k=1時,顯然成立;
(2)假設當k=l(l≥1)時成立,即f(3l-1)=2×3l-1
那么當k=l+1時,f(3l)=f(3×3l-1)=3f(3l-1)=3×2×3l-1=2•3l.猜想成立,
由(1)、(2)所證可知,對k∈N*f(3k-1)=2×3k-1成立.
(Ⅲ)存在p=3k-1+1,當p個連續(xù)自然數從3k-1→2×3k-1時,
函數值正好也是p個連續(xù)自然數從f(3k-1)=2×3k-1→f(2×3k-1)=3k
點評:本題考查函數的單調性、函數恒成立問題,考查學生分析問題解決問題的能力,綜合性較強,難度較大.
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+
1
4
+
1
6
+…+
1
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2
2
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