Question

如圖，已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面邊長是2，D是側棱CC₁的中點，直線AD與側面BB₁C₁C所成的角為45°．

求(Ⅰ)求此正三棱柱的側棱長；

(Ⅱ)求二面角A－BD－C的大小；

(Ⅲ)求點C到平面ABD的距離．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)設正三棱柱－的側棱長為．取中點，連． 　　是正三角形，∴． 　　又底面側面，且交線為． 　　∴側面． 　　連，則直線與側面所成的角為．　　2分 　　在中，，解得．　　3分 　　∴此正三棱柱的側棱長為．　　4分 　　(Ⅱ)過作于，連， 　　側面∴． 　　∴為二面角的平面角．　　6分 　　在中，，又 　　，∴． 　　又 　　∴在中，． 　　故二面角的大小為．　　8分 　　(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，平面，∴平面平面，且交線為， 　　∴過作于，則平面．　　9分 　　在中，．　　11分 　　為中點，∴點到平面的距離為．　　12分