Question

球O的截面BCD把球面面積分為1∶3兩部分,BC是截面圓的直徑,D是圓周上一點,CA是球O的直徑.

(1)求證:平面ABD⊥平面ADC;

(2)如果球半徑為13,D分BC為兩部分,且BD∶DC=1∶2,求AC與BD所成的角和距離;

(3)如果BD∶DC=3∶2,求二面角B-AC-D的大小.

Answer 1

思路解析:先作出球的軸截面圖形、再畫出截面BCD.觀察圖形、可知球半徑、截面圓半徑和弦心距(兩心距)構成了一個直角三角形、在這個三角形中解決此題.

解:(1)把球的直觀圖畫出來(如圖)即可從球中看出,A—BCD為一棱錐、BC為截面圓直徑.

∴BD⊥CD.

CA是球O的直徑,D為球面上一點、

∴ADC在一球大圓上.

∴CD⊥AD.

∴CD⊥平面ABD.又CD平面ACD、

∴平面ABD⊥平面ADC.

(2)如圖,過C作CG∥BD交球面于G點,

則AC與CG所夾的銳角(或直角)就是異面直線AC與BD所成的角.連結AG、則∠AGC=90°.

∵∶=1∶2,∴∠DBC=60°,BD∥CG.∴∠BCG=60°.

又平面BDC把球面分成1∶3兩部分,

∴2πRh∶4πR²=1∶4,h=R.

∴∠ACB=30°.

由cos∠ACG=cos∠ACB·cos∠BCG,cos∠ACG=∴∠ACG=arccos.

∵BD∥CG,則BD∥平面AGC.

∴AC與BD的距離就是BD與平面AGC的距離.

∵平面AGC⊥平面ABG,交線是AG,過B作BM⊥AG于M,則BM就是要求的BD與AC的距離.

AB=2(R-h)=2(R-R)=R,

CD=BCsin60°=2Rsin60°·sin60°=R,

AG=

∴BM=即AC與BD的距離就是BM=3,

AC與BD所成的角為∠ACG=arccos.

(3)過B作BE⊥AD于E,BF⊥AC于F,連結EF,

∵平面ABD⊥平面ADC,由三垂線定理可知,

∠BFE就是二面角B-AC-D的平面角,

BE=BM,BF=

由BC²=BD²+CD²,BD∶DC=∶2、

得BD=

sin∠BFE=∴∠BFE=60°,即二面角B-AC-D的大小為60°.