Question

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，AB//CD，∠BAD＝60°，CD＝1，AD＝2，AB＝4，點G在線段AB上，AG＝3GB，AA1＝1

（1）證明：D1G/平面BB1C1C，

（2）求二面角A1－D1G－A的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）

【解析】

（1）在平面中找到與直線D1G平行的直線，再由線線平行推證線面平行即可；

（2）建立空間直角坐標系，處理二面角.

（1）連接，在四邊形中：

因為，且//GB

故四邊形為平行四邊形，故可得//，

又平面BB1C1C，平面BB1C1C

故//平面BB1C1C.即證.

（2）因為四棱柱ABCD－A1B1C1D1為直四棱柱，故底面ABCD

故以平面ABCD內垂直于DC的直線為軸

以分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

故可得：

設平面的法向量為

則，即

取

設平面的法向量為

則，即

取

又因為二面角A1－D1G－A是銳二面角，設其平面角為

故,即為所求二面角A1－D1G－A夾角的余弦值.