Question

設橢圓C：的左、右焦點分別為F₁、F₂，上頂點為A，在x軸負半軸上有一點B，滿足，且AB⊥AF₂．

（Ⅰ）求橢圓C的離心率；

（Ⅱ）若過A、B、F₂三點的圓恰好與直線相切，求橢圓C的方程；                     

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過右焦點F₂作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點，若點P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，求的取值范圍．

Answer 1

 

考點：	圓與圓錐曲線的綜合；直線與圓的位置關系；橢圓的簡單性質．
專題：	綜合題．
分析：	（Ⅰ）由題意知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b），由知F1為BF2的中點，由AB⊥AF2，知Rt△ABF2中，BF22=AB2+AF22，由此能求出橢圓的離心率． （Ⅱ）由，知，，，Rt△ABF2的外接圓圓心為（﹣，0），半徑r=a，所以，由此能求出橢圓方程． （Ⅲ）由F2（1，0），l：y=k（x﹣1），設M（x1，y1），N（x2，y2），由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此能求出m的取值范圍．
解答：	解：（Ⅰ）由題意知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b） ∵知F1為BF2的中點， AB⊥AF2 ∴Rt△ABF2中，BF22=AB2+AF22， 又a2=b2+c2 ∴a=2c 故橢圓的離心率…（3分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知得， 于是，， Rt△ABF2的外接圓圓心為（﹣，0），半徑r=a， 所以，解得a=2， ∴c=1，， 所求橢圓方程為…（6分） （Ⅲ）由（Ⅱ）知F2（1，0），l：y=k（x﹣1）， 設M（x1，y1），N（x2，y2）， 由，代入得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0 則， y1+y2=k（x1+x2﹣2）…（8分） 由于菱形對角線垂直， 則 故x1+x2﹣2m+k（y1+y2）=0 即x1+x2﹣2m+k2（x1+x2﹣2）=0， …（10分） 由已知條件知k≠0， ∴ ∴故m的取值范圍是．…（12分）
點評：	本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．