Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}首項(xiàng)a₁=1，且a₂是a₁和a₃-1的等差中項(xiàng)．
（1）求等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得等比數(shù)列{a_n}的公比q=2，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）易求得b_n=log₂a_n=n-1，于是數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，從而可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，又a₁=1，
則2q=1+q²-1，
∴q=2或q=0（舍去），
∴等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2^n-1．
（2）∵b_n=log₂a_n=log₂2^n-1=n-1，b_n+1-b_n=1，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=0+1+2+…+n-1
=

(n-1)×n

2

=

1

2

n²-

1

2

n．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．