Question

（2007•深圳二模）設等比數列{a_n}的首項a₁=256，前n項和為S_n，且S_n，S_n+2，S_n+1成等差數列．
（Ⅰ）求{a_n}的公比q；
（Ⅱ）用Π_n表示{a_n}的前n項之積，即Πn=a₁•a₂…a_n，試比較Π₇、Π₈、Π₉的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解法一：由S_n+1=S_n+a_n+1，S_n+2=S_n+a_n+1+a_n+2，可得2S_n+2=S_n+S_n+1，即可得an+2=-

1

2

an+1，從而可求等比數列的公比q
解法二：由已知2S_n+2=S_n+S_n+1，
分類討論：q=1時及q≠1時，分別利用等比數列的求和公式代入已知可求q
（Ⅱ）由（1）可知a1=28， q=-

1

2

，則通過計算可知Π₇＜0，，Π₈=Π₉＞0．從而可比較

解答：解：（Ⅰ）解法一：∵S_n+1=S_n+a_n+1，S_n+2=S_n+a_n+1+a_n+2，
由已知2S_n+2=S_n+S_n+1，…（4分）
得：2（S_n+a_n+1+a_n+2）=S_n+（S_n+a_n+1），∴an+2=-

1

2

an+1，∴{a_n}的公比q=-

1

2

．…（8分）
解法二：由已知2S_n+2=S_n+S_n+1，…（2分）
當q=1時，S_n+2=（n+2）a₁，S_n+1=（n+1）a₁，S_n=na₁，
則2（n+2）a₁=（n+1）a₁+na₁，⇒a₁=0與{a_n}為等比數列矛盾；  …（4分）
當q≠1時，則2•

a1(1-qn+2)

1-q

=

a1(1-qn)

1-q

+

a1(1-qn+1)

1-q

，
化簡得：2qⁿ⁺²=qⁿ+qⁿ⁺¹，∵qⁿ≠0，∴2q²=1+q，∴q=-

1

2

…（8分）
（Ⅱ）∵a1=28， q=-

1

2

，則有：a₂=-2⁷，a₃=2⁶，a₄=-2⁵，a₅=2⁴，a₆=-2³，a₇=2²，a₈=-2，a₉=1，…∴Π₇＜0…（11分）Π₈=Π₉＞0…（13分）∴Π₇＜Π₈=Π₉…（14分）

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式轉化數列的項之間的關系及等比數列求和公式的應用（求和公式中要注意公比q=1時的情況是解題中容易漏掉的）．