Question

已知a∈R，設p：函數f（x）=x²+（a-1）x是區間（1，+∞）上的增函數，q：方程x²-ay²=1表示雙曲線．
（1）若p為真命題，求實數a的取值范圍；
（2）若“p且q”為真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=x²+（a-1）x是區間（1，+∞）上的增函數，得-

a-1

2

≤1，從而求出命題p為真時，a的范圍；
（2）由復合命題真值表知若“p且q”為真命題，則命題p、q都為真命題，求得命題q為真命題時a的范圍，求交集可得答案．

解答：解：（1）∵p為真命題，即函數f（x）=x²+（a-1）x是區間（1，+∞）上的增函數，
∴-

a-1

2

≤1，解得a≥-1．
即實數a的取值范圍是[-1，+∞）．                     
（2）由方程x²-ay²=1表示雙曲線，則a＞0，
∴命題q為真命題，則a＞0．
由復合命題真值表知若“p且q”為真命題，則命題p為真命題，且q也為真命題． 
∴a≥-1且a＞0，即a＞0．
∴實數a的取值范圍是（0，+∞）．

點評：本題考查了復合命題的真假判斷，考查了函數的單調區間的判定及雙曲線的標準方程，解題的關鍵是求得命題p、q都為真時a的范圍．