Question

已知函數f(x)=

∫

x 0

t(t-4)dt；
（1）若不等式f（x）+2x+2＜m在[0，2]內有解，求實數m的取值范圍；
（2）若函數g(x)=f(x)+a-

1

3

在區(qū)間[0，5]上沒有零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據定積分先求出函數的解析式，再利用分離參數法，將不等式f（x）+2x+2＜m在[0，2]內有解，轉化為m＞（x²-2x+2）_min（x∈[0，2]），即可求得實數m的取值范圍；
（2）求導函數，確定g（x）的最小值，要使函數g（x）在區(qū)間[0，5]上沒有零點，則a-11＞0或

g(0)=a- 1 3 ＜0 g(5)=- 26 3 +a＜0

，由此可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=

∫

x 0

t(t-4)dt=(

1

3

t3-2t2)

|

x 0

=

1

3

x3-2x2
∴f′（x）=x²-4x
不等式f（x）+2x+2＜m可化為m＞x²-2x+2
∵不等式f（x）+2x+2＜m在[0，2]內有解，
∴m＞（x²-2x+2）_min（x∈[0，2]）
∵x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴當x∈[0，2]時，（x²-2x+2）_min=1
∴m＞1，
∴實數m的取值范圍為（1，+∞）
（2）由（1）得g(x)=

1

3

x3-2x2+a-

1

3

，
∴g′（x）=x²-4x=x（x-4）
則當x∈[0，4]時，g′（x）≤0；當x∈（4，5]時，g′（x）＞0
∴當x=4時，g（x）的最小值為g（4）=a-11
∵函數g（x）在區(qū)間[0，5]上沒有零點，
∴a-11＞0或

g(0)=a- 1 3 ＜0 g(5)=- 26 3 +a＜0

∴a＞11，或a＜

1

3

∴實數a的取值范圍為（11，+∞）∪（-∞，

1

3

）．

點評：本題考查定積分，考查導數知識的運用，考查函數的零點，考查不等式有解問題，解題的關鍵是利用分離參數法，將不等式f（x）+2x+2＜m在[0，2]內有解，轉化為m＞（x²-2x+2）_min（x∈[0，2]）．