Question

【題目】近年來，國家為了鼓勵高校畢業生自主創業，出臺了許多優惠政策，以創業帶動就業．某高校畢業生小張自主創業從事蘋果的種植，并開設網店進行銷售．為了做好蘋果的品控，小張從自己果園的蘋果樹上，隨機摘取150個蘋果測重（單位：克），其重量分布在區間內，根據統計的數據得到如圖1所示的頻率分布直方圖．

（1）以上述樣本數據中頻率作為概率，現一顧客從該果園購買了30個蘋果，求這30個蘋果中重量在內的個數的數學期望；

（2）小張的網店為了進行蘋果的促銷，推出了“買蘋果，送福袋”的活動，買家在線參加按圖行進贏取福袋的游戲．該游戲的規則如下：買家點擊拋擲一枚特殊的骰子，每次拋擲的結果為1或2，且這兩種結果的概率相同；從出發格（第0格）開始，每擲一次，按照拋擲的結果，按如圖2所示的路徑向前行進一次，若擲出1點，即從當前位置向前行進一格（從第格到第格，），若擲出2點，即從當前位置向前行進兩格（從第格到第格，），行進至第3l格（獲得福袋）或第32格（謝謝惠顧），游戲結束．設買家行進至第格的概率為，．

（ⅰ）求、，并寫出用、表示的遞推式；

（ⅱ）求，并說明該大學生網店推出的此款游戲活動，是更有利于賣家，還是更有利于買家．

Answer 1

【答案】（1）8.4個；（2）（ⅰ）,．（ⅱ），更有利于買家．

【解析】

（1）根據頻率分布直方圖可求出蘋果的重量在內的頻率，再根據二項分布的期望公式可得結果；

（2）（ⅰ）由當前格在第0格，且第一次拋擲骰子，結果為1，可求得；由當前格在第0格，第一次拋擲骰子，結果為2，和當前格在第1格，第二次拋擲骰子，結果為1，這兩個互斥事件的和事件的概率公式可求得；分兩種情況可求得：①當前格在第格，拋擲一次骰子，結果為2，②當前格在第格，拋擲一次骰子，結果為1，

（ii）根據（ⅰ）的遞推關系可求得，由此可得，根據可求得，再比較大小可得答案.

（1）由圖可知，蘋果的重量在內的頻率為：．

一顧客從該果園購買的30個蘋果中重量在內的個數為，則，所以（個）．

（2）（i）買家要行進至第1格的情況只有一種：買家第一次拋擲骰子，結果為1，行進至第一格，其概率為，則；

買家要行進至第2格的情況有以下兩種：

①當前格在第0格，第一次拋擲骰子，結果為2，行進至第2格，其概率為；

②當前格在第1格，第二次拋擲骰子，結果為1，行進至第2格，其概率為；

所以．

買家要行進至第格的情況有以下兩種：

①當前格在第格，拋擲一次骰子，結果為2，行進至第格，其概率為；

②當前格在第格，拋擲一次骰子，結果為1，行進至第格，其概率為；

所以．

（ii）由（i）得，，即，

又，

所以數列是首項為，公比為的等比數列．

所以，

所以

，

即．

所以買家行進至第31格（獲得福袋）的概率為；

又買家行進至第32格（謝謝惠顧）的概率為，

由于，

所以買家行進至第31格的概率大于行進至第32格的概率，即小張網店推岀的此款游戲活動是更有利于買家．