Question

【題目】求所有的由實數構成的有限集合，使得，，且對中的任意四個不同的元素、、、都有.

Answer 1

【答案】（、，且，）

【解析】

（1）.

設，則由，，得，或.

由對稱性，不妨設.

因為，所以，.

故（、是非零實數，且，）.顯然，集合滿足題設條件.

（2）.

則集合除0外還含有至少四個元素.

（ⅰ）若中至少有四個正數，設中最大元素為，且，則

，且，這不可能.

（ⅱ）若中至少有四個負數，設中的最小數是，且，則

，且，這不可能.

（ⅲ）若中有不少于兩個正數、兩個負數，設中最大元素為，且設，，，，則，且，這不可能.

（ⅳ）若中只有三個正數一個負數，設這四個數滿足，則同（1）知、、中有且只有一個為1.不妨設.則，且，這不可能.

（ⅴ）若中只有三個負數一個正數，同（ⅳ）可得矛盾.

綜上，（、，且，）.