Question

已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是A₁B₁的中點，求直線AE與平面ABC₁D₁所成角的正弦值

10

5

．

Answer 1

分析：取AB的中點F，連接B₁F，取C₁B的中點O，連接FO，B₁O，根據B₁O⊥平面ABC₁D₁，可知∠B₁FO為B₁F與平面ABC₁D₁所成角，在Rt三角形B₁FO中求解即可，而AE∥B₁F，從而求出所求．

解答：解：取AB的中點F，連接B₁F，取C₁B的中點O，連接FO，B₁O
B₁O⊥平面ABC₁D₁，∴∠B₁FO為B₁F與平面ABC₁D₁所成角
B₁O=

2

2

，B₁F=

5

2

∴sin∠B₁FO=

2 2

5 2

=

10

5

而AE∥B₁F，所以直線AE與平面ABC₁D₁所成角的正弦值為

10

5

故答案為：

10

5

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，將線面夾角問題轉化為解三角形問題是解答本題的關鍵，屬于中檔題．