Question

以等腰直角三角形ABC的斜邊AB上的高CD為軸折成一個60°的二面角，使B到Bˊ的位置，已知斜邊AB=2，求：

(1)C到平面ABˊD的距離；

(2)A到平面CBˊD的距離；

(3)AC和平面CBˊD所成的角．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵CD⊥AD，CD⊥BˊD， ∴CD⊥平面ABˊD， ∴CD的長就是C到平面ABˊD的距離． 由△ABC是等腰直角三角形，AB=2，得CD=1， 即C到平面ABˊD的距離為1． (2)過點A作AE⊥BˊD交BˊD于E， ∵CD⊥平面ABˊD， ∴平面ABˊD⊥平面BˊCD， ∴AE⊥平面CBˊD． ∴AE的長為A到平面BˊCD的距離． ∵AD⊥CD，BˊD⊥CD， ∴∠ADBˊ為二面角A—CD—Bˊ的平面角． 由題意知∠ADBˊ=60°． 在Rt△ADE中，AD=1，∴AE=， 即點A到平面CBˊD的距離為． (3)連結CE． ∵AE⊥平面BˊCD， ∴AC在平面BˊDC內的射影為CE， ∴∠ACE為AC和平面CBˊD所成的角． 在Rt△ACE中，AC=，AE=． ∴sinACE=, ∴∠ACE=arcsin， 即AC與平面CBˊD所成的角為arcsin． 點評：(2)中選作AE⊥BˊD于E，然后證AE是垂線段．最后再計算AE．(3)中選作∠ACE，然后證∠ACE是AC與平面BˊCD所成的角，最后再求出∠ACE，這一例題再一次說明了“作、證、算”是解決這類題目的基本步驟．