Question

【題目】(導學號：05856334)

已知函數f(x)＝ln x＋ax2＋1.

(Ⅰ)當a＝－1時，求函數f(x)的極值；

(Ⅱ)當a>0時，證明：存在正實數λ，使得λ恒成立．

Answer 1

【答案】(1) 函數f(x)有極大值，無極小值(2)見解析

【解析】試題分析：（1）運用求解導數得出f′（x）=+2ax，x＞0，判斷（0， ）單調遞增，（ ，+∞）單調遞減，

得出f（x）極大值=f（）=ln+，無極小值．

（2）構造g（x）=，當a＞0時g（x）的定義域為R，

g′（x）=，g′（x）==0，x1=1，x2=1，

判斷得出g（x）在（﹣∞，x1）（x2，+∞）單調遞增，（1，2）單調遞減，求解得出極值，得出存在常數M，得出不等式恒成立．

試題解析：

(Ⅰ)依題意，f(x)＝ln x－x2＋1，x∈(0，＋∞)，f′(x)＝＝，

故當x∈(0，)時，f′(x)>0，

當x∈(，＋∞)時，f′(x)<0，

故函數f(x)有極大值f()＝ln－＋1＝－ln 2＋，無極小值.

(Ⅱ)令g(x)＝＝ (x＞0，a＞0)，

g′(x)＝，令g′(x)＝0，解得x1＝1－<0(舍去)，x2＝1＋>1，

當x變化時，g′(x)與g(x)的變化情況如下表：

x	(0，x2)	x2	(x2，＋∞)
g′(x)	－	0	＋
g(x)	↘		↗

所以函數g(x)在(x2，＋∞)上單調遞增，在(0，x2)上單調遞減．

又因為g(1)＝0，當0＜x<1時，g(x)＝>0；當x>1時，g(x)＝<0，

所以當0＜x≤1時，0≤g(x)＜g(0)＝1；當x>1時，g(x2)≤g(x)<0.

記M為1，|g(x2)|中最大的數，則||≤λ恒成立M≤λ.

綜上，當a>0時，存在正實數λ∈[M，＋∞)，使得對任意的實數x，不等式||≤λ恒成立.