Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱長和底面邊長均為1，M是底面BC邊上的中點，N是側棱CC₁上的點，且CN=2C₁N．
（Ⅰ）求二面角B₁-AM-N的平面角的余弦值；
（Ⅱ）求點B₁到平面AMN的距離．

Answer 1

分析：（I）由題意及圖形因為M是底面BC邊上的中點，所以線線垂直進而線面垂直，利用二面角平面角的定義得到二面角的平面角，在△B₁MN中，由余弦定理可以求得；
（II）由題意過B₁在面BCC₁B₁內作直線B₁H⊥MN，又AM⊥平面BCC₁B₁，所以B₁H⊥平面AMN，在三角形中解出B₁H，即可．

解答：解：（Ⅰ）因為M是底面BC邊上的中點，
所以AM⊥BC，又AM⊥CC₁，
所以AM⊥面BCC₁B₁，從而AM⊥B₁M，AM⊥NM，
所以∠B₁MN為二面角，B₁-AM-N的平面角．
又B₁M=

B1B2+BM2

=

1+ 1 4

=

5

2

，MN=

MC2+CN2

=

1 4 + 4 9

=

5

6

，

連B₁N，得B₁N=

B1C12+C1N2

=

1+ 1 9

=

10

3

，
得cosB1MN=

B 1M2+MN2-B 1N2

2•B 1M•MN

=

5 4 + 25 36 - 10 9

2× 5 2 × 5 6

=

5

5

．
故所求二面角B₁-AM-N的平面角的余弦值為

5

5

．
（Ⅱ）過B₁在面BCC₁B₁內作直線B₁H⊥MN，H為垂足．又AM⊥平面BCC₁B₁，
所以AM⊥B₁H．于是B₁H⊥平面AMN，故B₁H即為B₁到平面AMN的距離．
在R₁△B₁HM中，B₁H=B₁MsinB1MH=

5

2

×

1- 1 5

=1．
故點B₁到平面AMN的距離為1．

點評：此題重點考查了利用線線垂直進而線面垂直，在利用二面角平面角的定義得到二面角的平面角，及利用余弦定理解出三角形及反三角函數表示角的大小，還考查了線面垂直得到點到面得距離．