Question

(本小題滿分12分) 已知圓過橢圓的兩焦點，與橢圓有且僅有兩個公共點；直線與圓相切 ，與橢圓相交于兩點記

   （1）求橢圓的方程；

   （2）求的取值范圍；

   （3）求的面積S的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）

【解析】

試題分析：

（1）根據題意可知因為圓與橢圓有且只有兩個公共點，那么聯立方程組，則得到的方程僅有兩個實根可得b的值，然后分析2c=2,得到c=1，從而得到橢圓方程。

（2）結合已知的條件，直線與圓相切 ，可知m與k點的關系式，而直線與橢圓相交于兩點，那么聯立直線方程與橢圓的方程組，結合韋達定理得到，從而化簡得到其為，結合的范圍得到結論。

（3）根據弦長公式，那么可知結論為，那么結合上一問的k的范圍得到面積的范圍。

解：（1）由題意知2c=2,c=1, 因為圓與橢圓有且只有兩個公共點，從而b=1.故a=

所求橢圓方程為         ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分

（2）因為直線l:y=kx+m與圓相切

所以原點O到直線l的距離＝1,即：m   ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分

又由　，（）　　

設A（），B（），則     ﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分

＝，由，故， 即 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分    

（3）

＝，由，得：         ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍11分

，所以：　               ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍12分

考點：本試題主要是考查了圓與橢圓的位置關系，以及直線與圓的位置關系，和直線與橢圓的相交弦長的公式的運用。

點評：解決該試題的關鍵是確定出參數b的值，以及結合已知中2c=2的值，得到橢圓的方程該試題的突破口。