Question

數列{a_n}滿足a₁=1，an+1=

2n+1an

an+2n

（n∈N₊）．
（Ⅰ）證明：數列{

2n

an

}是等差數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅲ）設b_n=n（n+1）a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）由已知中an+1=

2n+1an

an+2n

（n∈N₊），我們易變形得：

an+1

2n+1

=

an

an+2n

，即

2n+1

an+1

=

2n

an

+1，進而根據等差數列的定義，即可得到結論；
（II）由（I）的結論，我們可以先求出數列{

2n

an

}的通項公式，進一步得到數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅲ）由（II）中數列{a_n}的通項公式，及b_n=n（n+1）a_n，我們易得到數列{b_n}的通項公式，由于其通項公式由一個等差數列與一個等比數列相乘得到，故利用錯位相消法，即可求出數列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（Ⅰ）證明：由已知可得

an+1

2n+1

=

an

an+2n

，
即

2n+1

an+1

=

2n

an

+1，
即

2n+1

an+1

-

2n

an

=1
∴數列{

2n

an

}是公差為1的等差數列（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

2n

an

=

2

a1

+(n-1)×1=n+1，
∴an=

2n

n+1

（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知b_n=n•2ⁿ
S_n=1•2+2•2²+3•2³++n•2ⁿ
2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹（10分）
相減得：-Sn=2+22+23++2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹（12分）
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2

點評：本題考查的知識點是數列的遞推公式及數列求各，其中（I）中利用遞推公式，得到數列{

2n

an

}是等差數列并求出其通項公式是解答本題的關鍵．