Question

設(shè)a∈R，b∈R，x∈[-1，1]時，f（x）=-x²-ax+b的最小值是-1，最大值是1，求a、b的值．

Answer 1

分析：由于f（x）=-(x+

a

2

)2+

a2

4

+b，對稱軸為 x=-

a

2

，分-

a

2

＜-1、-1≤-

a

2

≤0、0＜-

a

2

≤1、-

a

2

＞1四種情況，分別利用函數(shù)的單調(diào)性并根據(jù)函數(shù)的最值，求出a、b的值．

解答：解：f（x）=-x²-ax+b=-（x²+ax-b）=-(x+

a

2

)2+

a2

4

+b，對稱軸為 x=-

a

2

．
①當-

a

2

＜-1時，f（x）=-x²-ax+b在[-1，1]上是減函數(shù)，由

f(-1)=1 f(1)=-1

可得，a、b無解．
②當-1≤-

a

2

≤0時，f（x）=-x²-ax+b在[-1，

a

2

]上是增函數(shù)，在（

a

2

，1]上是減函數(shù)，
由

f(- a 2 )=1 f(1)=-1

可得

a=2 2 -2 b=2 2 -2

．
③當0＜-

a

2

≤1時，f（x）=-x²-ax+b在[-1，

a

2

]上是增函數(shù)，在（

a

2

，1]上是減函數(shù)，
由

f(- a 2 )=1 f(-1)=-1

可得

a=2-2 2 b=2+2 2

．
④當-

a

2

＞1時，f（x）=-x²-ax+b在[-1，1]上是增函數(shù)，由

f(-1)=-1 f(1)=1

可得 a、b無解．
綜上可得，

a=2 2 -2 b=2 2 -2

 或

a=2-2 2 b=2+2 2

．

點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．