Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁=2且S_n=S_n-1+2n（n≥2，n∈N^*）．
（ I ）求S_n；
（ II ） 是否存在等比數列{b_n}滿足b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉？若存在，則求出數列{b_n}的通項公式；若不存在，則說明理由．

Answer 1

解：（I）因為S_n=S_n-1+2n，
所以有S_n-S_n-1=2n對n≥2，n∈N^*成立（2分）
即a_n=2n對n≥2成立，又a₁=S₁=2•1，
所以a_n=2n對n∈N^*成立（3分）
所以a_n+1-a_n=2對n∈N^*成立，所以{a_n}是等差數列，（4分）
所以有，n∈N^*（6分）
（II）存在．（7分）
由（I），a_n=2n，n∈N^*對成立
所以有a₃=6，a₉=18，又a₁=2，（9分）
所以由b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉，則（11分）
所以存在以b₁=2為首項，公比為3的等比數列{b_n}，
其通項公式為b_n=2•3^n-1．（13分）
分析：（I）因為S_n=S_n-1+2n，所以S_n-S_n-1=2n對n≥2，n∈N^*成立．由此能求出{a_n}是等差數列，從而能夠得到，n∈N^*．
（II）存在．由a_n=2n，n∈N^*對成立，知a₃=6，a₉=18，又a₁=2，故由b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉，得存在以b₁=2為首項，公比為3的等比數列{b_n}，其通項公式為b_n=2•3^n-1．
點評：本題考查等差數列的證明及其前n項和的求法，考查等比數列前n項和公式的求法和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．