Question

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2﹣2x．
（1）求f（x）的解析式，并畫出的f（x）圖象；

（2）設g（x）=f（x）﹣k，利用圖象討論：當實數k為何值時，函數g（x）有一個零點？二個零點？三個零點？

Answer 1

【答案】
（1）解：當x≥0時，f（x）=x2﹣2x．

設x＜0可得﹣x＞0，則f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x

∵函數f（x）為奇函數，則f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2﹣2x

∴ 函數的圖象如圖所示

（2）解：由g（x）=f（x）﹣k=0可得f（x）=k

結合函數的圖象可知

①當k＜﹣1或k＞1時，y=k與y=f（x）的圖象有1個交點，即g（x）=f（x）﹣k有1個零點

②當k=﹣1或k=1時，y=k與y=f（x）有2個交點，即g（x）=f（x）﹣k有2個零點

③當﹣1＜k＜1時，y=k與y=f（x）有3個交點，即g（x）=f（x）﹣k有3個零點

【解析】（1）先設x＜0可得﹣x＞0，則f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，由函數f（x）為奇函數可得f（x）=﹣f（﹣x），可求，結合二次函數的圖象可作出f（x）的圖象；（2）由g（x）=f（x）﹣k=0可得f（x）=k，結合函數的圖象可，要求g（x）=f（x）﹣k的零點個數，只要結合函數的圖象，判斷y=f（x）與y=k的交點個數
【考點精析】利用函數奇偶性的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．