Question

已知不等式mx²-2x-m+1＜0．
（1）若對于所有的實數x，不等式恒成立，求m的取值范圍；
（2）設不等式對于滿足|m|≤2的一切m 的值都成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當m=0時，經檢驗不滿足條件；解得m≠0時，設f（x）=mx²-2x-m+1，則由題意可得有

m＜0 4-4m(1-m)＜0

，解得 m∈∅．綜合可得結論．
（2）由題意-2≤m≤2，設g（m）=（x²-1）m+（1-2x），則由題意可得

g(-2)＜0 g(2)＜0

，由此求得x 的取值范圍．

解答：解：（1）當m=0時，1-2x＜0，即當x＞

1

2

時不等式恒成立，不滿足條件．…（2分）
解得m≠0時，設f（x）=mx²-2x-m+1，由于f（x）＜0恒成立，則有

m＜0 4-4m(1-m)＜0

，解得 m∈∅．
綜上可知，不存在這樣的m使不等式恒成立．…（6分）
（2）由題意-2≤m≤2，設g（m）=（x²-1）m+（1-2x），則有

g(-2)＜0 g(2)＜0

，
即

-2x2-2x+3＜0 2x2-2x-1＜0

，解之得

-1+ 7

2

＜x＜

1+ 3

2

，
所以x的取值范圍為{x|

-1+ 7

2

＜x＜

1+ 3

2

}． …（12分）

點評：本題主要考查一元二次不等式的應用，函數的恒成立問題，體現了分類討論和轉化的數學思想，屬于中檔題．