Question

已知a、b、c是成等比數列的三個正數，且公比不等于1，試比較a+c與2b，a²+c²與2b²、a³+c³與2b³，…的大小，由此得出什么一般性結論？并證明之．

Answer 1

分析：先根據等比中項的性質推斷b²=ac，進而根據均值不等式可推斷出a+c≥2

ac

=2b，進而q≠1推斷出等號不成立，進而可推斷出a+c＞2b，同理可推斷出a²+c²＞2b²、進而推斷出一般性結論aⁿ+cⁿ＞2bⁿ、根據a、b、c是成等比數列，判斷出aⁿ、bⁿ、cⁿ是成等比數列，進而利用等比中項的性質b²ⁿ=aⁿcⁿ，進而根據均值不等式求得aⁿ+cⁿ≥2

a nc n

=2bⁿ，q≠1推斷出等號不成立，進而原式得證．

解答：解：∵a、b、c是成等比數列的三個正數
∴b²=ac
∵a+c≥2

ac

=2b，
∵q≠1，∴a≠c
∴a+c＞2b
∵a、b、c是成等比數列的三個正數
∴a²、b²、c²是成等比數列
同理可知a²+c²＞2b²、
推斷出一般性結論aⁿ+cⁿ＞2bⁿ、
證明：∵a、b、c是成等比數列，
∴aⁿ、bⁿ、cⁿ是成等比數列
∴b²ⁿ=aⁿcⁿ，
∵aⁿ+cⁿ≥2

a nc n

=2bⁿ，
∵a≠c，∴aⁿ≠cⁿ
∴aⁿ+cⁿ＞2bⁿ，
原式得證．

點評：本題主要考查了等比數列的性質．考查了學生分析問題和解決問題的能力．