Question

已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，F₁(0,4)，F₂(0,4)，并且橢圓的長軸點是雙曲線實軸長的2倍，求橢圓與雙曲線交點的軌跡方程。

        

Answer 1

解法一：設(shè)橢圓與雙曲線的交點為P  ，由橢圓、雙曲線定義，及已知條件得：

        

         或

         即    

         化簡得    

         或

         即：

         化簡得：

         ∴ 所求軌跡方程為      

         軌跡是兩個圓除去與y軸的交點。

         解法二：由題意設(shè)雙曲線的實半軸長為a 

         則橢圓的半長就是a

         又∵ c = 4       

         為橢圓半短軸

         為雙曲線的虛軸

         則橢圓方程為……（1）

         雙曲線方程為……（2）

         由（1）×4－（2）得

        

         即 ……（3）

         （3）代入（2）得：

        

         代回（2）中消去a得           

         若     

        

         即

         即    

        

         則所求的軌跡是兩個圓除去它們與y軸的交點，方程是：

        

                                              

解析:

通過橢圓和雙曲線定義，建立動點滿足的幾何條件，再坐標(biāo)化而得到軌跡方程。

或由焦點已知曲線中收為原點，坐標(biāo)軸為對稱軸，再需一個條件用待定系法也可求軌跡方程。解法一是將“a”當(dāng)作參數(shù)引進(jìn)后來后建立方程，不如解法一直接使用定義尋找到動點滿足的幾何關(guān)系簡單。