Question

已知雙曲線與橢圓

x2

4

+y2=1共焦點，它們的離心率之和為

3 3

2

；
（1）求橢圓與雙曲線的離心率e₁、e₂；
（2）求雙曲線的標準方程與漸近線方程；
（3）已知直線l：y=

1

2

x+m與橢圓有兩個交點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）橢圓

x2

4

+y2=1中，由a=2，c=

3

，能求出橢圓離心率e₁，由雙曲線與橢圓離心率之和為

3 3

2

，能求出雙曲線的離心率e₂．
（2）由橢圓

x2

4

+y2=1焦點為F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），雙曲線與橢圓

x2

4

+y2=1共焦點，知雙曲線的焦點為F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），再由雙曲線的離心率e₂=

3

．能求出雙曲線的標準方程和漸近線方程．
（3）由

x2 4 +y2=1 y= 1 2 x+m

，得2x²+4mx+4m²-4=0，直線l：y=

1

2

x+m與橢圓有兩個交點，知△=（4m）²-8（4m²-4）＞0，由此能求出m的取值范圍．

解答：解：（1）∵橢圓

x2

4

+y2=1中，
a=2，c=

3

∴橢圓離心率e₁=

3

2

．
∵雙曲線與橢圓

x2

4

+y2=1的離心率之和為

3 3

2

，
∴雙曲線的離心率e₂=

3 3

2

-

3

2

=

3

．
（2）∵橢圓

x2

4

+y2=1焦點為F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），
雙曲線與橢圓

x2

4

+y2=1共焦點，
∴雙曲線的焦點為F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），
∵雙曲線的離心率e₂=

3

．
∴雙曲線的標準方程為x2-

y2

2

=1，
∴雙曲線的漸近線方程為y=±

2

x．
（3）由

x2 4 +y2=1 y= 1 2 x+m

，得2x²+4mx+4m²-4=0，
∵直線l：y=

1

2

x+m與橢圓有兩個交點，
∴△=（4m）²-8（4m²-4）＞0，
解得-

2

＜m＜

2

．
故m的取值范圍是（-

2

，

2

）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．