Question

【題目】如圖，在各棱長均為2的三棱柱中，側(cè)面底面， .

(1) 求側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大小；

(2) 求異面直線間的距離；

(3) 已知點(diǎn)滿足，在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3) 存在點(diǎn)，使平面，且為點(diǎn).

【解析】試題分析：

(1)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合直線的方向向量和平面的法向量可得側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大小是；

(2)結(jié)合異面直線距離公式計(jì)算可得異面直線間的距離是；

(3)利用空間向量的結(jié)論計(jì)算可得存在點(diǎn)，使平面，且為點(diǎn).

試題解析：

(1) ∵面底面，作于點(diǎn)面，

又 ，且各棱都相等

故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則

∴

設(shè)平面的法向量為，

則，即，所以，取

由，∴側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大小為；

(2)

異面直線公垂線的方向向量；

，取

異面直線的距離為

(3) ，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為

假設(shè)存在點(diǎn)符合題意，設(shè)，則

因平面， 為平面的法向量

∴

又面，故存在點(diǎn)，使平面，且為點(diǎn).